热尔曼与高斯


热尔曼(Sophie Germain,1776-1831)

敌军的特殊礼遇

1806年起,法军入侵普鲁士并一个接一个地攻陷城市,不久不伦瑞克也被占领,“数学王子”高斯就居住在此。人们发现,几个法国士兵控制了高斯门庭的出入口,另有几个已冲进去了······

 

回想两千多年前,罗马入侵叙拉古后,伟大的数学家阿基米德死在罗马士兵屠刀之下。这种英雄多磨难的境地在科学史上曾多次出现,首位载入史册的女数学家希帕蒂娅,因坚持理性主义在415年被作为异教徒车裂;布鲁诺由于坚定不移地宣扬“日心说”,1600年在罗马广场被处以火刑。这不禁使人们感到担忧,敌军会如何对待高斯呢?

高斯的家被几个战士“包围”了。前线指挥官帕尼提将军下令,要给予这位伟大数学家特别的照顾以保护其安全,并告诉高斯:是索菲·热尔曼小姐挽救了他的生命。高斯既感激又惊讶,因为他从来不认识什么热尔曼小姐!

性格坚毅的少女

热尔曼1776年出生于巴黎一富商家庭,正好比高斯大一岁(两人都在4月份出生)。她的家庭文化氛围浓厚,经常聚集一些学者讨论哲学和政治问题。家中还有一个藏书丰富的图书室,是热尔曼儿时和少年时代的梦幻殿堂。从书房中了解到阿基米德的生平故事后,热尔曼感叹数学居然能够使人痴迷到舍生忘死的程度,它必定是世界上最迷人的学科,并从此立志要成为数学家。她自学了拉丁语和希腊语,在此基础上开始自学牛顿、欧拉等大师的著作。她废寝忘食地阅读引起了父母的反对——学校历来不招收女生、女孩子更不必读那么多书。但父母夜晚夺走油灯、关闭暖炉,早上看到的却是点剩的蜡烛和结冰的墨汁。如此种种措施都无法使坚毅的热尔曼回头,她的双亲被感动了,由阻挠变成了支持。

18岁时,热尔曼已打好牢固的数学基础,但父亲的图书室已经不能满足她的求知欲了。刚好在这一年,综合工科大学成立了,建校目的是树立新型教育机构和科学研究的典范、为法国培养科学家。著名的大数学家拉格朗日、蒙日等都在那里任教。令热尔曼失望的是:这所大学仍同其他学校一样,不招收女生。

勇扮男儿闯数坛

一心求学的热尔曼便设法收集该校的讲义。当她得知一个叫勒布朗的男生曾在这个学校注册后又离开了巴黎,便设法取得了原本给勒布朗的学习材料和习题,并且每周以勒布朗的化名递交作业。这种女扮男装的出场使我们感到“似曾相识”,但她不仅没有祝英台的暧昧,倒是有花木兰的气概。两个月后,拉格朗日——这门课程的老师——再也不能无视“勒布朗先生”的习题解答中表现出的才华。关键是除了习题解答巧妙非凡外,他是如何由糟透的“差生”迅速转变得如此优秀呢?于是要求这个勒布朗来见他面谈。拉格朗日是当时最优秀的数学家之一,与高手过招的机会怎么能错过呢!热尔曼只能泄露了自己的真实身份。拉格朗日对她倍加赏识,说她是个“分析学家”,并自愿当了她的教父和数学顾问,从此经常指导热尔曼学习数学。

热尔曼变得越来越有信心,从单纯的解答课业习题转变为研究数学中未开发的领域。热尔曼钻研了好几年数论,并认真深入地研究了高斯的《算术研究》。经过几年的积累,热尔曼取得了一些突破,决定找最好的数学家去切磋,于是请教当时世界上最杰出的数论学家——高斯。

消失的行星

{0,3,6,12,24,48,96,192,......},

这是一个性质简单的数列,我们看不到它更多的价值所在。现在把其中的每个数字都加上4再除以10,得到新的数列:

{0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,10,19.6,......}。

1766年[德]提丢斯发现,这个数列与当时已知的六大行星到太阳的距离比例很相似(如下图,地球到太阳的距离定为1个单位)。

 


1781年,[英]赫谢尔宣布发现了太阳系的第七大行星——天王星。天王星与太阳的平均距离是19.2个单位。这个结果令人振奋,所有人都完全相信:在2.8个单位处一定还存在一颗行星,正在等待着人们去发现它。1801年1月1日,[意]皮亚兹从巴勒莫天文台传出消息:他发现了一颗新行星(命名为谷神星),它与太阳的距离是2.77个单位!

谷神星令全世界为之兴奋,这是新世纪科学的一个好兆头。可是好景不长,这颗行星几周后就从天文望远镜中消失了,再次藏匿到天空的群星之中。

 



就在谷神星从天文学家的视野中消失快一年之后,一位24岁的年轻人宣称他知道在哪里可以找到这颗行星。当人们将望远镜对准了年轻人所指向的夜空时,它竟然就在那里!这个年轻人在别人记录下少量数据的基础上,从自己发明的“最小二乘法”出发,成功计算出谷神星在未来任何时刻的位置。当天文学家只能靠运气发现行星时,这位年轻人已经能够算出它的确切位置了,而且他的方法直到今天还在使用。天文学是当时科学界最关注的课题,这次成功的轨道预报立即引起了轰动,使这个年轻人在科学界一举成名。他就是数学王子——高斯。

《算术研究》发表

1777年高斯出生在德国不伦瑞克的一个普通工人家庭,少年时在数学方面表现出极高天赋。14岁时,高斯的聪明才智赢得了不伦瑞克的统治者费迪南德公爵的青睐,很幸运地得到了全部学业资助。高斯没有了生活上的负担,全身心地投入学习和思考。他于1792—1795年进入家乡的卡洛琳学院、1795—1798年离开家乡到格丁根大学学习。1799年,高斯在家乡的海尔姆斯台特大学获得博士学位。

就在发现谷神星的同一年,高斯的《算术研究》出版了。它是高斯最具代表性的著作,书中涉及正多边形的作图、方便的同余记号以及二次互反律等,系统总结了前人在数论方面的工作,解决了一批最困难的著名问题。这为高斯在数学界赢得了极大的声誉,且直接影响了其后一个世纪的研究模式。

发表《算术研究》和预报行星运行轨道,这两项成就使得高斯的名字在数学界和科学界如雷贯耳。不过,虽然行星轨道预测使高斯在物理和天文界结交了不少挚友,但他在纯数学的研究中是相当孤独的——没有同事和助手。即使在他创作高峰期也几乎未进行过直接的学术交流。唯一例外的是在1804—1807年,同法国人“勒布朗先生”通信讨论数论问题。

冒昧的来信

虽然热尔曼在巴黎已经有了些名气,但仍然担心高斯会由于性别原因而忽视她,所以在信中的署名仍是“勒布朗先生”。提到高斯与“勒布朗”的通信,得先从费马大定理说起。17世纪中叶,“业余数学家之王”费马在《(丢番图)算术》里的页边空白处写了下几行字,这几行字竟苦恼了一代又一代的数学家们:

 

······ 一般地将一个高于二次的幂分为两个同次幂,是不可能的,······ 我确信已发现一个十分美妙的证明,可惜这里空白太小,写不下。


费马指出:方程an + bn = cn当n>2时不存在正整数解。这条表述极其简明的定理,许多数学家试过身手却最终悬而未决。实际上费马本人仅证明了n=4的情形,像欧拉这样的大数学家只证明了n=3的情形(1753)。

德国天文学家奥伯斯曾写信劝他的朋友高斯“应该为此忙碌一下”,好去竞争法国科学院为该问题而设的大奖。高斯回信表示“几乎没有什么兴趣”。这不,冒昧的“勒布朗先生”也已抢先写信来探讨这个问题了。看来作为在世【关于“在世的数学王子”注解:历史上有许多和高斯一样的数学天才生前没有得到认可,例如阿贝尔、伽罗瓦、罗巴契夫斯基等,原因在于他们的思想太超前了,不能为同时代人所理解。】的数学王子,想不理睬焦点问题都不行。“勒布朗”在信中恭敬地说:

 

······ 我的智力比不上我贪婪的欲望。对于打扰一位天才我深感鲁莽 ······


在信中,“勒布朗”批评了数学家们试图通过证明一个个n的情形来实现问题的最终解决的作法。她向高斯描述了自己采用的一种新的策略,是对付这个问题的一般处理方法。对于使得(2p+1)也是素数的那类素数p(例如p=5),她的方法可以一次得到适合许多种情形的解答。“勒布朗”还指出了《算术研究》中二次互反律证明的不足。

高斯仔细阅读了此信,认为“勒布朗”在数论方面已有相当深的造诣,并采纳了她关于二次互反律的意见(后来根据该意见给出了新的证明)。因此高斯把她视为自己的知音,还回信说“我很高兴算术找到了你这样有才能的朋友”。从此两人书信往来讨论数论问题。有了高斯的指导,“勒布朗”的研究也大有长进。

“勒布朗先生”的身份一直保持到1806年,法军入侵普鲁士,热尔曼担心历史重演,害怕“阿基米德之死”的厄运降临到高斯身上。便拜托她的朋友——前线指挥官帕尼提将军——保证高斯的安全。热尔曼在随后的通信中坦白了自己的真实身份。高斯不但没有生气,还愉快地写了回信:

 

在晓得我一向尊敬的勒布朗先生竟变成做出如此辉煌成就的热尔曼时,你可以想象我的惊讶和仰慕之情了。你的表现······尤其是对于神秘的数论爱好是非常罕见的。这门高尚的学科只对那些有勇气深入其中的人展现其迷人魅力······


高斯更加热情地指导热尔曼的数论研究,并主动向她介绍新思想和新成果。高斯的来信对热尔曼的研究工作起到很大促进作用,但这种联络很快就结束了。

1806年费迪南德公爵在迎击法军时受重伤随后去世,高斯失去了赞助人。1807年,他举家迁往格丁根,出任格丁根天文台台长(当时尚未建成,由他负责督建并采购仪器设备)。此后高斯的研究兴趣转向了天文观测、测地学、地磁学等问题。除了1828年到柏林参加“自然科学工作者大会”之外,高斯一直没有离开他所钟爱的天文台,直至去世。终其一生,高斯以卓越的成就改变了德国数学自莱布尼茨逝世以来的冷清局面,他被公认为是19世纪最伟大的数学家,且与阿基米德、牛顿并称为历史上三个最伟大的数学家。

沙粒振动问题

失去了高斯的指导、抑或因取得了阶段性成果之后,热尔曼对纯粹数学的兴趣开始减弱。

 



1811年拿破仑下令法国科学院悬赏三千法郎的专项奖金,征求有关克拉尼图形的数学解释,热尔曼的研究兴趣从此转向弹性理论。她先后三次(1811、1813、1816)向法国科学院递交论文去竞争大奖,递交的论文一次比一次成熟和完善,尤其是第三篇“弹性振动研究”,深刻阐述了一般弹性表面的振动规律,成为弹性力学的基础。评委会由法国数学界三大泰斗——勒让德、拉普拉斯、拉格朗日组成,于1816年一致通过了她的获奖决定。至此,热尔曼成为首个荣获法国科学院奖金和金质奖章的女数学家。一个女人取得了只有少数几个男人才能看懂的成就,整个巴黎都轰动了。

迟到的学位

1822年,傅里叶当选科学院永久秘书之后颁发了一个条例,允许女性参加某些活动。这显然是为热尔曼量身订制的,虽然她不是科学院的一员,但却可以参加里面的学术活动了。毕竟对于数学创新来说,参加杰出数学家们的讨论要比孤军奋战好得多。

热尔曼对弹性理论继续进行研究,涉及弹性曲面等更加深刻的问题。1829年热尔曼患乳腺癌,在病痛的折磨中继续进行研究。此时她的研究转向哲学,试图用分子论的观点解释弹性现象,也试图阐释道德与物理世界的统一性问题。

现实的残酷在于:关于她的成果,大家都普遍接受了;关于她的地位,却由于是女性而始终得不到承认。鉴于她的博学多才和斐然成绩,许多科学家为其奔走呼吁,但法国的科学院和大学却都不能为其提供一个职位。这倒不是因为她没有上过大学、没有获得过学位,而仅仅因为她是一个女人。

后来还是高斯——这位素未谋面的笔友,说服了格丁根大学授予热尔曼名誉博士学位。但是她还没有等到这个荣誉,就怀着不平和遗憾离开了人世。死亡证明书上写道:“索菲·热尔曼,死于1831年6月27日,无职业未婚妇女。”

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