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一个让人纷纷掉坑的三角函数有关最值问题

江西师范大学历史文化与旅游学院

今天,有个群里讨论起了这个题目,大家纷纷给出了自己的想法,有的老师甚至给出来严格的过程。
有的人认为可以直接求导判断单调性,这个确实是函数最值问题的通法,运算量也不算大。
 
有的人认为可以先把分子分母倒过来,然后可以通过分离常数转化为斜率形式,数形结合解决问题,也是这类结构的代数式变形的一种通法。
 
有的人认为可以利用万能公式进行代换,以tan(θ/2)为变量,把三角型函数转化为有理型函数,也有可取之处。
 
但实际上,题干给的闭区间可能暗示了我们最小值就在端点处取得(即使不对,也不妨一猜),于是我们可以考虑证明y大于等于端点值(实际上,这也是竞赛里不等式证明的一种常用方法)。
我们可以看到,这种做法虽有取巧之嫌,但确实舒服,可以适当用用。 
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